ပါစကယ်တြိဂံကို ကြည့်လိုက်ရင် သပ်သပ်ရပ်ရပ် စီစဉ်ထားတဲ့ တောင်လိုမျိုးကိန်း အပုံလိုက်ကြီးကို တွေ့နိုင်ပါတယ်

Tun Lin Aung

Nov 06 · 2 min read

ပါစကယ်တြိဂံကို ကြည့်လိုက်ရင် သပ်သပ်ရပ်ရပ် စီစဉ်ထားတဲ့ တောင်လိုမျိုးကိန်း အပုံလိုက်ကြီးကို တွေ့နိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမဲ့၊ ဒါက တကယ်တော့ သင်္ချာဆိုင်ရာ ရတနာသိုက် တစ်ခုပါ။ ဒါကို အိန္ဒိယ သင်္ချာပညာရှင်တွေက မေရုတောင်ရဲ့ လှေကားထစ်များလို့ ခေါ်ပါတယ်။ အီရန်မှာတော့ ဒါက Khayyam တြိဂံပါ။ ပြီးတော့ တရုတ်မှာ၊ ဒါကို Yang Hui ရဲ့ တြိဂံ လို့ခေါ်ပါတယ်။ အနောက်တိုင်းသား အများစုအတွက်တော့ ဒါကို ပြင်သစ်သင်္ချာ ပညာရှင် Blaise Pascal အမည်အစွဲပြုကာ Pascal's Triangle လို့ခေါ်ပါတယ်။ ဒီလိုခေါ်လိုက်တာက နောက်မှမွေးပြီး ကိုဦးလို့ အမည်ပေးသလို တစိတ်တော့ လွန်လေမလားပဲ။ ဒါပေမဲ့ သူ့ ပါဝင်ဆောက်ရွက်ချက်တွေက အများကြီးမှ တကယ့်အများကြီးပါ။ ဒါဆို တကမ္ဘာလုံးက သင်္ချာပညာရှင်တွေကို ဘယ်လို အချက်မျိုးတွေက ဖမ်းစားလိုက်တာဖြစ်မလဲ။ အချုပ်အားဖြင့်၊ ဒါက ပုံစံကွဲ အသွယ်သွယ်နဲ့ လျို့ဝှက်ချက်များစွာ ရှိနေတာပါ။

ပထမဦးစဆုံး ဒါကို ပုံစံ ပေါ်ထွက်လာ စေတဲ့ နည်းလမ်းရှိပါတယ်။ ပုံတွင်ရှု့ပါ။ စ စခြင်း တစ်နဲ့ ၎င်းရဲ့ တဘက်တချက်စီက သုညတွေကို စိတ်ကူးကြည့်ပါ။ သူတို့ကို တစ်စုံချင်းတွဲလို့ ပေါင်းပါက နောက် အတန်း တစ်တန်း ရပါလိမ့်မယ်။ အခု၊ ဒါမျိုးကိုပဲ တစ်တန်းပြီး တစ်တန်း အထပ်ထပ် ဆက်လုပ်သွားလိုက်ပါ။ တကယ်တော့ ပါစကယ် တြိဂံဟာ အန္တတိုင်ရှိပေမဲ့လည်း ကြီးမားလှတဲ့ တြိဂံတစ်ခုလို ပုံစံမျိုးနဲ့ အဆုံးသတ်သွားပါလိမ့်မယ်။

အခု အတန်း တစ်တန်းစီမှာ (x+y)^n ပုံစံရှိတဲ့ ဒွိနာမကိန်းတွဲ ဖြန့်စီခြင်းရဲ့ မြောက်ဖော်ကိန်း ဆိုတာတွေ ရပါပြီ။ အဲဒီမှာ n ဟာ အတန်း အရေအတွက်ဖြစ်ပြီး n ကို သုညမှစလို့ ရေတွက်ပါ့မယ်။ ဒီတော့၊ n = 2ဟာ (x+y)^2နဲ့ညီပြီး ဒါကို ဖြန့်ခင်းလိုက်ရင် ခင်ဗျားရမှာက(x^2) + 2xy + (y^2) ပါ။ မြောက်ဖော်ကိန်းတွေ သို့မဟုတ် ကိန်းရှင်တွေရဲ့ ရှေ့မှ ကိန်းတွေဟာ ပါစကယ် တြိဂံရဲ့ အတန်းတစ်တန်းမှာရှိနေတဲ့ ကိန်းတွေ အတိုင်းပါပဲ။ n = 3 ထားပြီး ဖြန့်ထုတ်ပါက။ ထိုနည်း၎င်း ဆိုသလို ဖြစ်နေအုံးမှာပါ။ ဒီတော့ ဒီတြိဂံဟာ ဒီမြောက်ဖော်ကိန်းတွေကို ကြည့်ဖို့ လျင်မြန်၊ လွယ်ကူတဲ့ နည်းလမ်းပါ။ ဒါပေမဲ့ ဒီထက်ပိုပါတယ်။

ဥပမာ၊ အတန်းတစ်ခုစီက ကိန်းတွေကို ပေါင်းပါ။ ဒါဆိုနှစ်ကို အစဉ်လိုက် ပါဝါတင်ပြီးသားကိန်း တွေကိုရလာပါလိမ့်မယ်။ ပထမတန်းမာ 1+1 = 2 က 2^1ပါ။ ဒုတိယ တန်းမှာ 1+2+1 = 4 က 2^2 ပါ။ ဒီလိုမျိုးဆက် လုပ်သွားရင် ဘယ် အတန်းထိအောင် မှန်နေလိမ့်အုံးမယ်ဆိုတာကို ခင်ဗျားတွေ့ရ မှာပါ။

ဒါမှမဟုတ် အတန်းတစ်တန်းက ကိန်းတစ်လုံးစီကို နေရာအလိုက် ဖြန့်ချလိုက်ပါ။ တနည်းအာဖြင့်၊ ဒုတိယ အတန်းက (1x1) + (2x10) + (1x100) ဖြစ်ပါတယ်။ ခင်ဗျား ရမှာ 121၊ ဒါက 11^2 ပါ။ ဆဌမအတန်းမှ ကိန်းကို ဒါမျိုးလုပ်ပြီး ပေါင်းလိုက်ရင်။ ပေါင်းလဒ်က 1,771,561မို့ ဒါက 11^6.. စသည်ဖြင့် ရှေ့ဆက်နိုင်ပါတယ်။

ဂျီဩမေတြိဆိုင်ရာ အသုံးတွေလည်း ရှိပါတယ်။ ထောင့်တန်းလိုင်းတွေကို ကြည့်ပါ။ ပထမနှစ်တန်းဟာ တစ်တွေချည်းပဲရယ်၊ သဘာဝကိန်း ဝါ အပေါင်းကိန်းပြည့်တွေရယ်မို့ သိပ်စိတ်ဝင်စား စရာမကောင်းပါဘူး။ ဒါပေမဲ့ နောက်ထပ်​ ထောင့်တန်းလိုင်းက ကိန်းတွေ (1, 3, 6, 10, 15,...)ကို တြိဂံဆိုင်ရာ ကိန်းတွေ လို့ခေါ်ပါတယ်။ အကြောင်းက အဲဒီနေရာက ကိန်းတန်ဖိုးနဲ့ ညီမျှတဲ့ ဖန်ဂေါ်လီလေးတွေ ခင်ဗျားမှာရှိခဲ့ရင် ဒီ ဂေါ်လီလုံးတွေ သုံးပြီး သုံးနားညီ တြိဂံတွေ တည်ဆောက်နိုင်မှာပါ။ နောက်က ထောင့်တန်းလိုင်းမှာ ပိရစ်ပုံတည်ဆောက်နိုင်တဲ့ လေးမျက်နှာ ဒုချွန်ကိန်းတွေ(1, 4, 10, 20, 35,...) ရှိပါသေးတယ်။ ရှေ့က နည်းနဲ့ ဆင်တူတာကြောင့်၊ ဂေါ်လီလုံးတွေ များများသုံးပြီး လေးမျက်နှာဒုချွန်အဖြစ် ခင်ဗျားကိုယ်တိုင် စမ်းသပ်တည်ဆောက်ကြည့်ပါ။

ဒါမလုပ်ချင်သေးရင်၊ မကိန်းတွေအားလုံးကို ပုံဖော်လိုက်ရင် ဘယ်နှယ့်ရှိစ။ တြိဂံမှာ အတန်းနည်းတဲ့အခါ ဒါက ပုံ သိပ်မပေါ်ပေမဲ့အတန်းတွေ ထောင်ချီလာရင်တော့ ဂျီဩမေတြီအရပုံစံ ထပ်ကြိမ်ပြုချက်တွေ ရလာမှာပါ။ ဒါကို Sierpinski's Triangle လို့ခေါ်ပါတယ်။

ဒီတြိဂံတွေက သင်္ချာဆိုင်ရာ အနုပညာဖြစ်ရုံသာမက၊ ၎င်းက အသုံးလည်း သိပ်ဝင်ပါတယ်။ အထူးအားဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း တွက်ချက်မှုရယ်၊ ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နိုင်တဲ့နည်းလမ်း အရေအတွက် တွက်ချက်မှုရယ်မှာ ဒါကို အသုံးပြုပြီး တွက်ချက်မှုပြုလုပ်နိုင်မှာပါ။ဥပမာ။ ။ ခင်ဗျားက ကျောင်းသားငါးယောက်ကို ကစားပွဲ အတွက် ရွေးခြယ်ဖို့ကြုံမယ် ဆိုပါစို့။ ပြီးတော့ မ ၃၊ ကျား ၂ ရဖို့ ဖြစ်တန်းစွမ်းကိုလည်း သိခြင်တယ် ဆိုပါတော့။ ဒါဆို ဒွိနာမကိန်းတွဲကို ဖြန့်စီခြင်းအရ မ အပေါင်း ကျား၊ ဒါကို တစ်ကွင်းလုံး ငါးထပ် တင်ပါ့မယ် (x + y)^5 ပေါ့။ ဒီတော့ ပဥ္စမမြောက်အတန် (n=5) ကို ရှု့လိုက်ပါ။ အဲဒီမှာ မြောက်ဖော်ကိန်း (1, 5, 10, 10, 5, 1) ကိုတွေ့လိမ့်မယ်။ နောက်ပြီး ကိန်းရှင်တွေအရ ပထမကိန်းက မ ငါးယောက်(x^5)နဲ့ နောက်ဆုံးမှာက ကျား ငါးယောက်(y^5)ကို ကိုယ်စားပြုမယ်။ တတိယကိန်း (x^3.y^2) ဟာ ကျွန်တော်တို့ ရှာနေတာပါပဲ။ ဒီတော့ အတန်းထဲက ဖြစ်တန်စွမ်းတွေ အားလုံးရဲ့ပေါင်းလဒ် (32) အပေါ် (x^3.y^2 ရဲ့ မြောက်ဖော်ကိန်း)တစ်ဆယ်ကို တည်ပါ။ ဒီတော့ 10/32, ဝါ 31.25% ပါ။

နောက်ထပ် ဘက်စကတ်ဘော-တစ်သင်းဖွဲ့ဖို့ ကျပန်းရွေးခြယ်မှုလုပ်ကြည့်ပါမယ်။ ကျောင်းသား ဆယ့်နှစ်ယောက်ရှိမယ် အဲဒီ အဖွဲ့ထဲက ကစားသမား ငါးဦးပါတဲ့ ဘက်စကတ်ဘော-တစ်သင်းစာ ကျပန်းရွေးထုတ်ရင် ငါးယောက်အဖွဲ့ ၊ ဖွဲ့တာ ဘ ယ်လောက်များလုပ်နိုင်မှာလဲ။ ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နည်းအရ၊ ဒီပုစ္ဆာကို ဆယ့်နှစ်ဦးထဲက ငါးဦးရွေးတယ်လို့ ပြောနိုင်လိမ့်မယ်(12C_5 ပေါ့)၊ အဲဒါနဲ့ဆိုင်တဲ့ ပုံသေနည်းသုံးပြီးလည်းတွက်နိုင်ပါတယ်။ ဒါမှမဟုတ ် တြိဂံပေါ်က ဆယ့်နှစ်တန်းမြောက်(n = 12)ရဲ့ ခြောက်ခုမြောက်မှာ ရှိနေတာကို ကြည့်ရုံနဲ့ အဖြေရပါတယ်။

ပါစကယ်ရဲ့ တြိဂံထဲက ပုံစံတွေဟာ သင်္ချာပညာရပ်ရဲ့သပ်ရပ်စွာ ရက်ဖောက်ထားတဲ့ အနုပညာမြောက်တဲ့အစိတ်အပိုင်းအတွက် အထောက်အထားတစ်ခုပါ။ ပြီးတော့၊ လျှို့ဝှက်ချက် အသစ်များစွာကိုလည်း ယနေ့ထိ ဖော်ထုတ်နေဆဲဖြစ်ပါတယ်။ ဥပမာ၊ သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဗဟုကိန်းတန်းတွေကို ဖြန့်စီဖို့ရာ မကြာမီက နည်းလမ်းရှာတွေ့ခဲ့ပါတယ်။ နောက်ထပ် ကျုပ်တို့ထပ်ရှာတွေ့မှာ ဘာဖြစ်လာမလဲ။ ဟုတ်ပါပြီ၊ ဒါတော့ ခင်ဗျား အပေါ် မူတည်ပါတယ်။

video ဖြင့် လေ့လာရန်